命題４

　小さいどのような数は大きいどのような数の約数か約数たちである。

　AとBCを２つの数とし、BCを小さい数とせよ。

　BCはAの約数か約数たちであると主張する。

　AとBCは互いに素かそうでないかのどちらかである。

　まず、AとBCは互いに素であるとする。

　そのとき、もしBCはその中で単位に分けられるならば、そのとき、BCの中のそれぞれの単位はAのある約数であり、つまり、BCはAの約数たちである。definition�Z．４

　次に、AとBCが互いに素でないとする。

　そのとき、BCはAで割り切れるか、割り切れないかのどちらかである。

　今、もしBCはAを割り切るならば、そのときBCはAの約数である。definition�Z．３

　しかし、もしそうでなければAとBCの最大公約数Dをとり、BCをDと等しい数、つまり、BE、EF、FCに分ける。

　そして、今、DはAを割り切るので、それゆえに、DはAの約数である。

　しかし、BE、EF、FCのそれぞれはDに等しく、それゆえに、BE、EF、FCのそれぞれもまたAの約数である。proposition�Z．２

　つまり、BCはAの約数たちである。

　それゆえに、小さいどのような数は大きいどのような数の約数か約数たちである。

証明終了

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